题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤ $数学公式$ •|x-1|．并利用不等式结论比较ln²（1+x）与 $数学公式$ 的大小．
（3）若不等式 $数学公式$ 对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ ，定义域x|x＞0
$\text{[math]}$
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对 $\text{[math]}$
当x≥1时，原不等式变为 $\text{[math]}$
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0， $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 成立
当0＜x≤1时，原不等式变为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0时， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
用 $\text{[math]}$ （其中x＞-1）代入上式中的x，可得 $\text{[math]}$
（3）结论：a的最大值为 $\text{[math]}$
∵n∈N^*，∴ $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
取 $\text{[math]}$ ，则x∈（0，1]，∴ $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵g（x）递减，
∴x=1时 $\text{[math]}$
∴a的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：先求函数的定义域
（1）对函数求导，利用导数在区间（0，+∞）的符号判断函数的单调性．
（2）根据题目中式子的结构，结合（1）中单调性的结论可考虑讨论①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0两种情况对原不等式进行求解．
（3）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*都成立?a≤ $\text{[math]}$ 恒成立构造函数g（x）= $\text{[math]}$ ，利用导数判断该函数的单调性，从而求解函数的最小值，即可求解a的值
点评：本题主要考查了利用导数判断对数函数的单调性，利用单调性解对数不等式，函数的恒成立问题的求解，综合考查了函数的知识的运用，要求考生具备综合解决问题的能力．