Question

一个棱柱的三视图（正视图长为a，宽为

2

的矩形，俯视图是长为2，宽为1的矩形，侧视图是直角边长分别为1和

2

的直角三角形）和直观图如图所示，其中G是棱DF的中点．M是棱AB的中点．
（1）求证：AG∥平面FMC；
（2）求三棱锥F-MCE的体积；
（3）求证：平面CMF⊥平面FDM．

Answer 1

分析：（1）取FC的中点H，连接GH，HM，由已知中G为DF的中点，由三角形中位线定理，我们易得到四边形AMHG为平行四边形，AG∥MH，我们易根据线面平行的判定定理得到AG∥平面FMC；
（2）由三视图与直观图的条件，AD⊥平面DCEF，由已知中EF=2，CE=

2

，AD=1，求出棱棱的底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（3）由三视图与直观图的条件，知FD⊥平面ABCD，AD⊥DC，又由AB=CD=EF=2，FD=

2

，AD=1，由勾股定理易判断CM⊥DM，又由CM⊥FD，结合线面垂直的判定定理，易判断出CM⊥平面FDM，再由面面垂直判定定理，易判断出平面CMF⊥平面FDM．

解答：解：（1）证明：取FC的中点H，连接GH，HM

∵G为DF的中点，
∴GH为△FDC的中位线，
∴GH∥CD，且GH=

1

2

DC
∵四边形ABCD为矩形，且M是AB的中点，
∴AM∥DC，且AM=

1

2

DC
从而AM∥GH，且AM=GH
∴四边形AMHG为平行四边形
∴AG∥MH
又∵MH?平面FMC，AG?平面FMC，
∴AG∥平面FMC，
（2）由三视图与直观图的条件，AD⊥平面DCEF，EF=2，CE=

2

，AD=1
∴V_F-MCE=V_M-FCE=

1

3

•S△FCE•AD=

1

3

×(

1

2

×2×

2

)×1=

2

3

（3）由三视图与直观图的条件，知FD⊥平面ABCD，AD⊥DC
又由AB=CD=EF=2，FD=

2

，AD=1，
在Rt△DAM中，∵AD=AM=1
∴DM=

2

，同理MC=

2

∴DM²+MC²=4=CD²
∴△DMC为直角三角形，CM⊥DM
∵FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴CM⊥FD，又∵FD∩DM=D
∴CM⊥平面FDM，又CM?平面FDM，
∴平面CMF⊥平面FDM．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，由三视图还原实物图，棱锥的体积，直线与平面的判定，熟练掌握三视图与直观图的关系，由已知中三视图判断出几何体的形状，及相关几何量的值，是解答本题的关键．