Question

【题目】己知函数， ．

（I）求函数上零点的个数；

（II）设，若函数在上是增函数．

求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）零点个数为 （II）的取值范围是

【解析】试题分析：（1）先求得， 时， 恒成立，可证明时， ，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数 ,

求导，得，

当时， 恒成立，

当时， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上单调递减．

又， ，

曲线在[1，2]上连续不间断，

∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函数在上零点的个数为1．

（II）由（Ⅰ）知：当时， ＞0，当时， ＜0．

∴当时， =

求导，得

由于函数在上是增函数， 故在， 上恒成立.

①当时， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

记， ，则，，

所以， 在上单调递减，在上单调递增，

∴min= 极小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②当时， ，

当时， 在上恒成立，

综合①②知，当时，函数在上是增函数．

故实数的取值范围是．