Question

n²（n≥4）个正数排成n行n列：
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄…a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄…a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄…a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3 a_n4…a_nn
其中每一行的数由左至右成等差数列，每一列的数由上至下成等比数列，并且所有公比相等，已知a₂₄=1，a₄₂=

1

8

，a₄₃=

3

16

，则a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

2-（n+2）•

1

2n

．

Answer 1

分析：设第一行数的公差，第一列数的公比；求出表中通项a_st，据通项公式将a₂₄，a₄₂，a₄₃用首项，公差、公比表示，列出方程组求出首项、公差、公比；由题意求出a_kk，据a_kk的特点，利用错位相减法求出对应式子的和．

解答：解：设第一行数的公差为d，第一列数的公比为q，
可得a_st=[a₁₁+（t-1）d]q^s-1
又设第一行数列公差为d，各列数列的公比为q，
则第四行数列公差是dq³，
则

a24=(a11+3d)q=1 a42=(a11+d)q3= 1 8 a43=a42+dq3= 3 16

，
解此方程组，得a₁₁=d=q=±

1

2

，
∵n²（n≥4）个正数排成n行n列，
∴a₁₁=d=q=

1

2

，
则对任意的1≤k≤n，
akk=akqk-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=

k

2k

，
设s=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

   ①

1

2

s=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

              ②
①-②得，

1

2

s=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴s=2（1-

1

2n

-

n

2n+1

）=2-（n+2）•

1

2n

故答案为：2-（n+2）•

1

2n

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，以及由条件求数列的通项公式，考查数列求和的常用方法：错位相减法，考查分析问题解决问题的能力，难度较大．