Question

已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0解出其增区间，令导数小于0解出其减区间，并列出x变化时，f'（x）
和f（x）的变化表格，由表中数据判断最值即可；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点P，使点P处的切线与直线2x+y+3=0平行，再利用由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，求得切点的坐标，结合直线的方程求出斜率等于-2的直线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-4x，由f′（x）=0得x₁=0，x₂=

4

3

当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表

x	-1	（-1，0）	0	（0，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函数	1	减函数	-	增函数	1

由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x²-4x，
∴f/(x)∈[-

4

3

，+∞)，即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是[-

4

3

，+∞)
∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉[-

4

3

，+∞)
∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．

点评：本题着重考查了导数的几何意义，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．本题还考查了存在性问题，所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题．解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理．