Question

已知：三定点A(-，0)、B(，0)、c(-，0)，动圆M与线段AB相切于点N，

且|AN|-|BN|=，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)直线3x-3my-2=0截动点户的轨迹所得弦长为2，求m的值；

(3)求证：∠PAB=2∠PCB．

Answer 1

解：(1)由平几知识得：

|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=

∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线(部分) 

设它的方程为=1(x＞a)，则

解得:,

故所求的方程为=1(x＞)

(2)设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于点Q₁(x₁，y₁)、Q₂(x₂，y₂)，

∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B

∴由双曲线定义知：

|Q₁Q₂|=e(x₁+x₂-)=2(x₁+x₂-)=2

∴x₁+x₂=

若m=0，则x₁=x₂=，此时x₁+x₂=，即|Q₁Q₂|=2合题意

若m≠0，由

消去y得：9x²-3()²=1，化简得：

(27m²-9)x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

解得m=0与m≠0矛盾．  ∴m=0

 (3)当x=时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，

∠PBC=90°命题成立

当x≠时，设P(x，y)

则y²=-3(-x²)，且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=

=

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

∴tan2∠PCB=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π，  0＜2∠PBC＜π

∴2∠PCB=∠PBC