Question

已知：三定点A(-,0)、B(,0)、C(-,0)，动圆M与线段AB相切于点N，且|AN|-|BN|=，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)直线3x-3my-2=0截动点P的轨迹所得弦长为2，求m的值；

(3)是否存在常数λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值．若不存在，并请说明理由．

Answer 1

解:(1)由平面几何知识得：

|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线(部分)

设它的方程为，则

解得：

故所求的方程为 

(2)设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于点Q₁(x₁,y₁)、Q₂(x₂,y₂),

∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B

∴由双曲线定义知：

|Q₁Q₂|=e(x₁+x₂-)=2(x₁+x₂-)=2

∴x₁+x₂=

若m=0，则x₁=x₂=,此时x₁+x₂=，即|Q₁Q₂|=2合题意

若m≠0,由

消去y得：9x²-3,化简得：

(27m²-9)x²+12x-3m²-4=0,x₁+x₂=

解得m=0与m≠0矛盾.  ∴m=0 

 (3)当x=时,|BP|=1,|BC|=1,此得∠PCB=45°,∠PBC=90°猜想λ=2 

当x≠时,设P(x,y)

则y²=-3(),且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

∴tan2∠PBC=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π,0＜2∠PBC＜π

∠PBC=λ∠PBC.