Question

在△ABC中，已知cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC最大边的边长为

10

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的关系，算出sinA=

5

5

且sinB=

10

10

，结合两角和的余弦公式和诱导公式得到cosC=-sin（A+B）=-

2

2

，结合C为三角形的内角可得C=135°；
（2）由题意得c为最大边等于

10

，根据正弦定理分别算出a、b的长度，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．

解答：解：（1）∵△ABC中，已知cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
∴A、B都是锐角，且sinA=

1-cos 2A

=

5

5

，sinB=

1-cos 2B

=

10

10

因此，cosC=-sin（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

结合C为三角形的内角，可得C=135°；
（2）∵C是钝角，可得c为最大边
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得a=

csinA

sinC

=

10 • 5 5

2 2

=2
同理算出b=

2

，
因此，△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

2

×sin135°=1．

点评：本题给出三角形的两个角的余弦，求第三个角并依此求三角形的面积．着重考查了正弦定理、同角三角函数的关系和诱导公式、三角形的面积公式等知识，属于中档题．