题目内容
8．已知函数$f（x）=\left\{{\;}\right._{lnx，x＞0}^{{x^2}+x+a，x＜0}$，若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，则a的取值范围是（ ）| A． | （一2，-1） | B． | （1，2） | C． | （一1，+∞） | D． | （-ln2，+∞） |
分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）2-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．
解答 解：当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y-（x12+x1+a）=（2x1+1）（x-x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x2）；
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x1+1①，lnx2-1=-x12+a②，
由①及x1＜0＜x2得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②得a=lnx2+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）2-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）2-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，且a=$\frac{1}{4}$（t-1）2-1-lnt，设h（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）2-1-lnt，（0＜t＜1），
则h′（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-2）（t+1）}{2t}$＜0，∴h（t）在（0，1）为减函数，
则h（t）＞h（1）=-ln1-1，∴a＞-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-1，+∞）．
故选C．
点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
| A． | $\frac{p+q}{2}$ | B． | $\frac{（p+1）（q+1）}{2}$ | C． | pq | D． | $\sqrt{（p+1）（q+1）}$-1 |