Question

已知数列{a_n}中，a1=

2

2

，an+1=

n+1 n+2

an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：由题意可得 an+1=

n+1 n+2

an (n=1，2，…)，又a₁，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．猜想 an=

n+1

n+1

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：根据已知，a2=

3

3

，a3=

4

4

=

1

2

，a4=

5

5

，
猜测an=

n+1

n+1

．…（3分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=

2

2

，右边=

1+1

1+1

=

2

2

，猜想成立．…（4分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即ak=

k+1

k+1

，…（5分）
那么，ak+1=

k+1 k+2

ak=

k+1 k+2

•

k+1

k+1

 =

1

k+2

=

k+2

k+2

=

(k+1)+1

(k+1)+1

，…（7分）
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（8分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．