Question

(本小题满分14分)
设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；
（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）．                                                
（2）的分布列为：

	0	1	2	3

的数学期望．
（或者： ，故）

(1)先作出不等式的可行域，找出其中的整点，从而求出所求事件的概率.
(2)先确定X的可能取值为0,1,2,3,然后再求出每一值对应的概率，列出分布列，根据期望公式求出期望值.
（1）依题可知平面区域的整点为共有13个，平面区域的整点为共有5个， ∴．                                                
（2）依题可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：．
在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为，
易知：的可能取值为，                     
 ．
∴的分布列为：

	0	1	2	3

的数学期望．
（或者： ，故）