题目内容
过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为
的椭圆C相交于A、B两点，直线y=
x过线段AB的中点，同时椭圆C上任一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
解：由e==得
,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x-1）,代入C方程,得（1+2k2）x2-4k2x+ 2k2-2b2=0,
则x1+x2=
,y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=k（x1+x2）-2k=-
.
直线y=
x过AB的中点（
,
）,则
=
·
,解得k=0或k=-1.
若k=0,则l：y=0,焦点F（c,0）关于l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去;若k=-1,l：y=-（x-1）,即y=-x+1,右焦点为（b,0）,其关于l的对称点设为（x′,y′）.
则
解得
点（1,1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）2=2b2,?b2=
,a2=
.?
∴所求椭圆C的方程为：
=1,l的方程为y′=-x+1.
练习册系列答案
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如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x-1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（ ）
| A、r∈（0，1] | ||
| B、r∈（1，2] | ||
C、r∈(
| ||
D、r∈[
|