Question

过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上任一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

Answer 1

解：由e==得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k（x-1）,代入C方程,得（1+2k²）x²-4k²x+　2k²-2b²=0,

则x₁+x₂=,y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=-.

直线y=x过AB的中点（,）,则=·,解得k=0或k=-1.

若k=0,则l：y=0,焦点F（c,0）关于l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去;若k=-1,l：y=-（x-1）,即y=-x+1,右焦点为（b,0）,其关于l的对称点设为（x′,y′）.

则解得

点（1,1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）²=2b²,?b²=,a²=.?

∴所求椭圆C的方程为：=1,l的方程为y′=-x+1.