题目内容
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．
分析：（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用独立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可．
（Ⅲ）X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可．
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可．
（Ⅲ）X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可．
解答：解：设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)=
，P(A2)=
，P(A3)=
，P(A4)=
，
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2
3)=P(A1)P(A2)P(
3)=
×
×(1-
)=
．
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(
1+A1
2+A1A2
3)=P(
1)+P(A1
2)+P(A1A2
3)=
+
×
+
×
×(1-
)=
．
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(
1)=
，P(X=2)=P(A1
2)=
×(1-
)=
，P(X=3)=P(A1A2A3
)=
×
×
×
=
，P(X=4)=P(A1A2A3)=
×
×
=
，
所以，X的分布列为
E(X)=1×
+2×
+3×
+4×
=3．
由已知P(A1)=
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2
. |
| A |
. |
| A |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(
. |
| A |
. |
| A |
. |
| A |
. |
| A |
. |
| A |
. |
| A |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(
. |
| A |
| 1 |
| 6 |
. |
| A |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
. |
| A4 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
所以，X的分布列为
E(X)=1×
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查相互独立事件的概率和随机事件的分布列、期望问题，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
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