Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l的参数方程为

x=2- 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数）．
（I）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
（II）设曲线C经过伸缩变换

x′=x y′=2y

得到曲线C'设曲线C'上任一点为M（x，y），求

3

x+

1

2

y的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）直线l的普通方程

3

x+y-2

3

-1=0
曲线C的直角坐标方程x²+y²=4；…（4分）
（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换

x′=x y′=2y

得到曲线C'的方程为x2+

y2

4

=4，
则点M参数方程为

x=2cosθ y=4sinθ

，代入

3

x+

1

2

y得，

3

x+

1

2

y=

3

•2cosθ+

1

2

×4sinθ=2sinθ+2

3

cosθ=4sin（θ+

π

3

）∈[-4，4]
∴

3

x+

1

2

y的取值范围是[-4，4]…（10分）