题目内容

已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围.

 

答案：
解析：

(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为R，即

，解得a＞1

(2)若f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1能取一切正数

∴a＝0或，解得0≤a≤1

点评： (1)f(x)定义域是R，求得a＞1，即a＞1时，保证f(x)定义域是R，但此时由于ax2+2x+1=a(x+)2+1－≥1－，

∴f(x)的值域是［lg(1－)，+∞］，不要误认为值域也是R.

(2)f(x)值域是R，意思是要求其真数ax2+2x+1的值必须取到(0，+∞)内的每一个值，这就要求u=ax2+2x+1的最小值1－不能比零大，否则u就取不到(0，1－)内的值.故需a=0或即0≤a≤1，这时若a=0，则f(x)定义域为(－，+∞)，若0＜a≤1，则f(x)定义域为(－∞，x1)∪(x2，+∞)，其中x1，x2为方程ax2+2x+1=0的两根.不要误认为f(x)定义域是R.

 


练习册系列答案
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已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函数y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)当a≥时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C，曲线C在点(0,1)处的切线为l，是否存在a使l与曲线C有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a的值；否则，说明理由．

(3)当x≥0时，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

 

已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

 

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．

(1)求a的值和切线l的方程；

(2)设曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围

 

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