Question

已知（+3x²）ⁿ展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得4ⁿ-2ⁿ=992，求得n=5，设第r+1项的系数最大，则有，解得 ≤r≤．再由 r∈N，可得r的值．
解答：解：令x=1可得各项系数和为4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，
由题意可得4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32 2ⁿ=-31 （舍去），解得n=5．
设第r+1项的系数最大，则有，解得 ≤r≤．
再由 r∈N，可得r=4．
故系数最大的项为 T₅=••（3x²）⁴=405．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．