Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A A₁⊥底面ABC，AB⊥BC；
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直线AC与平面A₁BC所成的角为

π

6

，求AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，可证BC⊥平面AA₁BB₁，由已知结合线面垂直的判定即可得到证明；
（Ⅱ）由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，只要过点A在平面AA₁BB₁内作AD⊥A₁B，连结CD，即可得到直线AC与平面A₁BC所成的角，然后结合已知条件通过解直角三角形得答案．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
已知AA₁⊥平面ABC，BC?面ABC，∴AA₁⊥BC，
又已知AB⊥BC，且AB∩AA₁=A，∴BC⊥平面AA₁BB₁，
而BC?面A₁BC，∴平面A₁BC⊥面A₁ABB₁；
（Ⅱ）解：过点A在平面AA₁BB₁内作AD⊥A₁B，垂足是D，连结CD，
∵平面A₁BC⊥面A₁ABB₁，且面A₁BC∩面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，则CD为CA在平面A₁BC内的射影，
∴∠ACD为直线AC与平面A₁BC所成角．
即∠ACD=60°，
∵AC=a，∴AD=

a

2

，
在Rt△A₁AD内，A1A=a，AD=

a

2

，
∴∠AA1B=

π

6

，
在Rt△AA₁B内，AB=atan

π

6

=

3

3

a．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．