Question

已知数列{a_n}中,a_n≠0(n∈N*)且当n≥2时等式恒成立,求证:{a_n}成等差数列.

Answer 1

分析：加深理解数学归纳法是判定数列特殊性的基本方法.关键是把判定等差数列的方法转化为公式,从而明确归纳法的应用对象.

证明 (1)当n=2时,由2a₂=a₁+a₃,

∴a₁,a₂,a₃成等差数列,结论成立.              

(2)假设n=k(k∈N*)时,结论成立,

即由

可推出a₁,a₂,…,a_k+1成等差数列.

则n=k+1时,∵成立,    

∴

∴ka_k+2+a₁=(k+1)a_k+1.

又∵a_k+1=a₁+kd,

(d为等差数列a₁,a₂,…,a_k+1的公差)

∴ka_k+2+a₁=(k+1)(a₁+kd).

∴a_k+2=a₁+(k+1)d.

∴a₁,a₂,…,a_k+2成等差数列.            

∴n=k+1时,结论成立,

由(1)、(2)知,对于一切n≥2结论成立.