Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

分析：通过三个条件先求出函数解析式f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．那么当x=1时也成立确定出t的范围，然后研究当x=m时也应成立，利用函数的单调性求出m的最值．

解答：解：因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴-

b

2a

=-1，b=2a，
由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=

1

2

，a=

1

4

，c=

1

4

，故f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x=1，有f（t+1）≤1，即

1

4

（t+1）²+

1

2

（t+1）+

1

4

≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即

1

4

（t+m）²+

1

2

（t+m）+

1

4

≤m．
化简有：m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0，解得1-t-

-4t

≤m≤1-t+

-4t

，
故m≤1-t-

-4t

≤1-（-4）+

-4(-4)

=9
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f（x-4）-x=

1

4

（x²-10x+9）=

1

4

（x-1）（x-9）≤0．
∴m的最大值为9．
另解：∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-

b

2a

=-1b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即a+b+c=1，又a-b+c=0
∴a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

…（5分）
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x
取x=1时，有f（t+1）≤1?

1

4

（t+1）²+

1

2

（t+1）+

1

4

≤1?-4≤t≤0
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有
f（t+m）≤m?

1

4

（t+m）²+

1

2

（t+m）+

1

4

≤m?m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0?1-t-

-4t

≤m≤1-t+

-4t

…（10分）
∴m≤1-t+

-4t

≤1-(-4)+

-4•(-4)

=9 …（15分）
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有
f（x-4）-x=

1

4

（x²-10x+9）=

1

4

（x-1）（x-9）≤0
∴m的最大值为9． …（20分）

点评：本题考查了函数的最值问题，以及利用函数单调性进行求解最值，考查了学生的计算能力，属于中档题．