Question

【题目】如图，四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点连结，，先证明平面BOP，即可证明；

（2）先证明两两垂直.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.

（1）证明：取中点连结，，

，.

又四边形为菱形，，故是正三角形，

又点是的中点，.

又，平面，

平面，又平面.

.

（2）解：，点是的中点，.

又平面平面.

平面平面，平面，

平面，又平面.

，.又，

所以两两垂直.

以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，则各点的坐标分别为，，.

故，，，，

设，分别为平面，平面的一个法向量，

由可得，令，则，，故.

由可得，令，则，，故.

.

又由图易知二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值是.