Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁与双曲线的交点为P，且

MP

=3

PF1

，则双曲线的离心率e=

13 +1

3

．

Answer 1

分析：根据

MP

=3

PF1

，得到MP=3PF₁，设F₁F₂=2c，可得AF₁，AF₂，最后根据双曲线的定义，得2a=|AF₁-AF₂|，利用双曲线的离心率的公式，可得该双曲线的离心率．

解答：解：F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，如图．
∴线段F₁F₂为边作正三角形△MF₁F₂
∴MF₁=F₁F₂=2c，（c是双曲线的半焦距）
又∵

MP

=3

PF1

，∴MP=3PF₁，
∴PF₁=

c

2

，PF₂=

PN2+NF22

=

( c 2 )2+( 3 c)2

=

13

2

c
∵P在双曲线上，
∴Rt△PF₁F₂中，PF₁=

1

2

c，PF₂=

13

2

c，
根据双曲线的定义，得2a=|PF₂-PF₁|=

13

2

c-

c

2

∴双曲线的离心率e=

c

a

=

4

13 -1

=

13 +1

3

．
故答案为：

13 +1

3

．

点评：本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形，其一边上的P点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题．