Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC=3,BC=4,AB=5,AA₁=4,点D是AB的中点.

(1)求证:AC⊥BC₁;

(2)求证:AC₁∥平面CDB₁;

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

思路解析:本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以用向量法来证.

方法一:(1)证明:∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC⊥BC,且BC₁在平面ABC内的射影为BC.∴AC⊥BC₁.

(2)证明:设CB₁与C₁B的交点为E,连结DE,

∵D是AB的中点,E是BC₁的中点,∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)解:∵DE∥AC₁,∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角,

在△CED中,ED=AC₁=,CD=AB=,CE=CB₁=,

∴cos∠CED=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.

方法二:∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC,BC,C₁C两两垂直.

如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、CC₁分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(3,0,0),C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4),D(,2,0).

(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),

∴·=0.∴AC⊥BC₁.

(2)设CB₁与C₁B的交点为E,则E(0,2,2).

∵=(,0,2), =(-3,0,4),

∴=.∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)∵=(-3,0,4),=(0,4,4),∴cos〈,〉=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.