题目内容

已知数列{a_n}各项为正数，前n项和 $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令 $数学公式$ ，数列{c_n}前n项和为T_n，求证： $数学公式$ ．

解：（1）当n=1时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ ，
化简，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当n=1时， $\text{[math]}$ ，得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ ，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能求出a_n=n．
（2）由数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此利用累加法能够求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此利用错位相减法能够求出T_n，进而证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列通项公式的求法和前n项和的证明，解题时要认真审题，注意累加法、裂项求和法的灵活运用．