Question

已知偶函数满足：当时，，当时，.
(1)求当时，的表达式；
(2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.

Answer 1

（1）；（2）①时，；②时，；③时，.

试题分析：本题考查函数的奇偶性、函数解析式、函数零点问题以及等差数列的定义，考查化归与转化思想，考查计算能力.第一问，先把转化成，利用已知时的解析式，利用偶函数转化解析式；第二问，把有4个零点，先转化为与有4个交点且均匀分布，所以利用等差中项，偶函数等基础知识列出表达式，分情况进行讨论分析.
试题解析：（1）设则，，
又偶函数，
所以，.
（2）零点，与交点有4个且均匀分布，
（Ⅰ）时，    得，
所以时，， 
（Ⅱ）且时 ，， ，
所以 时，，
（Ⅲ）时时，符合题意，
（Ⅳ）时，，，，，
此时，，所以或（舍）
且时，时存在.
综上，①时，；
②时，；
③时，符合题意.