题目内容

设数列{an}的首项a1=
5
3
，an+1=
2
3
+
1
3
an（n∈N+）
（1）求证：数列{an-1}为等比数列；
（2）记Sn=a1+a2+a3+┉+an，求Sn的值．
分析：（1）由an+1=
2
3
+
1
3
an，可得an+1-1=
1
3
（an+1），即可证明数列{an-1}为等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式，即可求Sn的值．
解答：（1）证明：∵an+1=
2
3
+
1
3
an，
∴an+1-1=
1
3
（an+1），
∵a1-1=
2
3
，
∴数列{an-1}是首项
2
3
，公比为
1
3
的等比数列┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）解：∵an=
2
3
×(
1
3
)n-1+1
∴Sn=a1+a2+a3+┉+an
=
2
3
×[1+
1
3
+(
1
3
)2+…+(
1
3
)n-1]+n=1+n-(
1
3
)n┉┉┉（12分）
点评：本题考查等比数列的证明与求和，考查学生的计算能力，正确变形是关键．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的首项a1=
3
2
，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求满足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．
设数列{an}的首项a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n为偶数)
an+
1
4
(n为奇数)
，n∈N*，记bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当a＞
1
4
时，数列{cn}前n项和为Sn，求Sn最值．
设数列{an}的首项a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据上述结果猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
（2012•昌平区二模）设数列{an}的首项a1=-
1
2
，前n项和为Sn，且对任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，数列{an}中的部分项{abk}(k∈N*）成等比数列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}与的通项公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函数f（x），设f（x）的定义域为R，记cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．
设数列{an}的首项a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n为偶数
an+
1
4
，n为奇数
，记bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{cn}的前n项和为Sn，cn=nbn，求Sn．

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