Question

在△ABC中，D为边BC上的一点，BD=

1

2

DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为3-

3

，则∠BAC=（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．45°或60°

Answer 1

分析：由△ADC的面积为3-

3

，利用正弦定理的面积公式算出DC=2（

3

-1），结合BD=

1

2

DC算出BD=

3

-1且BC=3（

3

-1）．△ABD中和△ACD中，根据余弦定理算出AB=

6

，AC=

6

（

3

-1），最后在△ABC中，根据余弦定理算出cos∠BAC=

1

2

，即可得到∠BAC的大小．

解答：解：∵∠ADC=180°-120°=60°，AD=2
∴△ADC的面积S=

1

2

AD•DCsin60°=3-

3

，
即

1

2

×2×DC×

3

2

=3-

3

，解之得DC=2（

3

-1）
∵BD=

1

2

DC，∴BD=

3

-1，BC=3（

3

-1）
△ABD中，根据余弦定理得：
AB=

AD2+BD2-2AD•BDcos120°

=

6

同理，△ACD中得到AC=

6

（

3

-1）
△ABC中，根据余弦定理得cos∠BAC=

6+6( 3 -1)2-(3 3 -3)2

2× 6 × 6 ( 3 -1)

=

1

2

结合∠BAC是三角形的内角，可得∠BAC=60°
故选：C

点评：本题给出三角形ABC满足的条件，求∠BAC的大小．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于中档题．