Question

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a_n，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴．
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，，
当n=1时，也满足．
故a_n=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x求导可得，f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，∴k_n=2n+2．
又∵，
∴．
∴4（2n+1）•4ⁿ…①
由①×4可得：4（2n+1）•4ⁿ⁺¹…②
①-②可得：-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]
=-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]．
∴．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴Q∩R=R，又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6，∴c₁₀=4m+6，m∈N^*，（{c_n}的公差是4 的倍数!）
又∵110＜c₁₀＜115
∴解得m=27．
分析：（Ⅰ）根据点在函数图象上，则点满足函数解析式，得到S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据题中条件求出kn的表达式，结合（1）求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以利用错位相消法求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由“Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}”求得交集，再由“c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数”可求得c₁=6．最后由{c_n}是公差是4的倍数求得c₁₀=4m+6，则110＜c₁₀＜115求解即可．
点评：本题集函数、导数、数列、不等式于一体，体现了知识间的交汇与融合，同时又考查了数列的基本解题方法，考查了学生分析问题和解决问题．强调在“知识的交汇处”命制试题，是近年高考命题的趋势．