Question

【题目】如图，一个角形海湾（常数为锐角）．拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区，其中；方案二：如图2，围成三角形养殖区，其中.

（1）求方案一中养殖区的面积；

（2）求方案二中养殖区的最大面积（用表示）；

（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）应选择方案一．

【解析】

（1）设此扇形所在的圆的半径为，则，可得．利用扇形面积计算公式可得．

（2）设，，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：，可得：，即可得出．

（3）由于，令，求导，可得在上单调递增．即可得出结论．

（1）设，则，即，所以

．

（2）设．由余弦定理，得，所以

．

所以，当且仅当时等号成立．

所以，即．

（3），

令，则．

当时，，所以在区间上单调递增．

所以，当时，总有，即，即．

答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．