Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁=5，并且S_n+1=S_n+2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设b_n=

an+λ

2n

，若实数λ使得数列{b_n}为等差数列，求λ的值；
（3）不等式an＜(t-

n+1

2n-5

)•3n对任何的n∈N^*恒成立，求t的范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得S_n+1-S_n=a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），分别令n=1，n=2可递次得到a₂，a₃的值；
（2）由b_n=

an+λ

2n

，分别求出b₁，b₂，b₃的值，结合数列{b_n}为等差数列，可求出λ的值；
（3）不等式an＜(t-

n+1

2n-5

)•3n对任何的n∈N^*恒成立，即t＞

an

3n

+

n+1

2n-5

=

2n-1•(4n+1)

3n

+

n+1

2n-5

对任何的n∈N^*恒成立，求出C_n的最大值，可得t的取值范围．

解答：解：（1）∵S_n+1=S_n+2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
即a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
又∵S_n=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴a₂=2a₁+2³=10+8=18，
a₃=2a₂+2⁴=36+16=52
（2）∵b_n=

an+λ

2n

，
∴b₁=

a1+λ

2

=

5+λ

2

，
b₂=

a2+λ

22

=

18+λ

4

，
b₃=

a3+λ

23

=

52+λ

8

，
∵数列{b_n}为等差数列
∴2b₂=b₁+b₃=2×

18+λ

4

=

5+λ

2

+

52+λ

8

解得λ=0
（3）由（2）得b_n=

an

2n

，
∴b₁=

5

2

，
b₂=

9

2

∴d=b₂-b₁=2，
即数列{b_n}是公差d=2，首项为b₁=

5

2

的等差数列
∴b_n=

an

2n

=

5

2

+2（n-1）=

4n+1

2

∴a_n=2^n-1•（4n+1）
若an＜(t-

n+1

2n-5

)•3n对任何的n∈N^*恒成立，
则t＞

an

3n

+

n+1

2n-5

=

2n-1•(4n+1)

3n

+

n+1

2n-5

对任何的n∈N^*恒成立，
令C_n=

2n-1•(4n+1)

3n

+

n+1

2n-5

则C_n+1=

2n•(4n+5)

3n+1

+

n+2

2n-3

则C_n+1-C_n=[

2n•(4n+5)

3n+1

-

2n-1•(4n+1)

3n

]+（

n+2

2n-3

-

n+1

2n-5

）
=

2n-1•(7-4n)

3n+1

+

-2

(2n-3)(2n-5)

显然当n≥3时，C_n+1-C_n＜0，即C_n的值随n的增大而减小
又∵C₁=1，C₂=-1，C₃=5

25

27

∴t＞5

25

27

点评：本题考查的知识点是等差数列的定义，恒成立问题，其中（3）的难度较大，特别是在求C_n的最大值时．