Question

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*）
（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．
（2）求证：{a_n}是等差数列，并求通项a_n．
（3）若不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）令x=-1，?y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x₁，?x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，?0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的减函数．

（2）由f(an+1)=

1

f(-2-an)

得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
所以f（a_n+1-a_n-2）=f（0）．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立．
知k≤

(1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 an )

2n+1

对一切n∈N^*均成立．
设F(n)=

(1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 an )

2n+1

，
知F（n）＞0且F(n+1)=

(1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 )

2n+3

，
又

F(n+1)

F(n)

=

2(n+1)

2n+1 2n+3

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞1．
故F（n）为关于n的单调增函数，F(n)≥F(1)=

2 3

3

．
所以k≤

2 3

3

，k的最大值为

2 3

3