Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R，
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立。

Answer 1

（Ⅰ）解：当a=1时，，得f（2）=-2，
且，f′（2）=-5，
所以，曲线在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0。
（Ⅱ）解：，
，
令，解得或x=a，
由于a≠0，以下分两种情况讨论，
（1）若a＞0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0；
（2）若a＜0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极小值，且；
（Ⅲ）证明：由a＞3，得，
当k∈[-1，0]时，，
由（Ⅱ）知，f（x）在(-∞，1]上是减函数，
要使，x∈R
只要，
即，　　①
设，
则函数g（x）在R上的最大值为2，要使①式恒成立，
必须，即k≥2或k≤-1；
所以，在区间[-1，0]上存在k=1，使得对任意的x∈R恒成立．