Question

（2011•顺义区一模）已知数列{a_n}各项均为正数，前n项和S_n满足Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，（n∈N*），数列{b_n}满足：点列A_n（n，b_n）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{c_n}的前n项和，且cn=bn•2an-2，求T_n；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，知2Sn=

a

2 n

+an-6，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1-6，两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，知T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，由错位相减法能求出T_n．
（Ⅲ）对任意的n∈N^*，不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，由此能求出正实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，
∴2Sn=

a

2 n

+an-6（1）
当n≥2时，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1-6（2）
两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又当n=1时，a₁=S₁，解得a₁=3适合，∴a_n=n+2，----（3分）
点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
错位相减得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，
由a＞0，即a≤

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，---（9分）
令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，--（10分）
∴f（n+1）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)•(1+

1

bn+1+1

)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
f(n)min=f(1)=

5 6

24

．∴0＜a≤

5 6

24

．----（14分）

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式和实数的取值范围的求法，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．