Question

对任意实数列，定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.
（1）求数列的前项和；
（2）若，，.
①求实数列的通项；
②证明：.

Answer 1

（1）；（2）①；②详见解析.

解析试题分析：本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n项和以及不等式的放缩法．（1）由是首项是公比为的等比数列，故实数列确定，即，再结合的定义，得，然后求和即可（需分类讨论）；（2）由，.，可确定，利用累加法可求；和式可看作数列的前n项和，故先求其通项公式，得，因前n项和不易直接求出，故可考虑放缩法，首先看不等式右边，可想到证明每项都小于，由，进而可证明右面不等式，再考虑不等式左边，，因为，故，进而求和可证明．
试题解析：（1）令这里
是公比为的等比数列.
，
当时，，，.   2分
当时，是公比为，首项为的等比数列；.
.   4分
综上.   6分
（2）①由题设，，
叠加可得（）.   8分
②
.   10分
又
，，
即，，
.   12分

即.   13分
考点：1、等比数列通项公式；2、等比数列前n项和；3、累加法.