题目内容
已知函数f（x）=ax3-3x2+1-
（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．
【答案】分析：先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
解答：解：由题设知a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-
），令f′（x）=0得x=0或x=
．
当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：
∴f（x）极大值=f（0）=1-
，
f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．
当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：
∴f（x）极大值=f（0）=1-
，
f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．
总之，当a＞0时，f（x）极大值=f（0）=1-
，
f（x）极小值=f（
）=-
-
+1；
当a＜0时，f（x）极大值=f（0）=1-
，
f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．
点评：本小题主要考查函数的导数的极值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
解答：解：由题设知a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-
），令f′（x）=0得x=0或x=
．当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：
∴f（x）极大值=f（0）=1-
，f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：
∴f（x）极大值=f（0）=1-
，f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．总之，当a＞0时，f（x）极大值=f（0）=1-
，f（x）极小值=f（
）=-
-
+1；当a＜0时，f（x）极大值=f（0）=1-
，f（x）极小值=f（
）=-
-
+1．点评：本小题主要考查函数的导数的极值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
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