Question

如图，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，若

AF

=x

AB

+y

AC

，则（　　）

• A．x=

  1

  3

  ，y=

  1

  2

• B．x=

  1

  4

  ，y=

  1

  3

• C．x=

  3

  7

  ，y=

  3

  7

• D．x=

  2

  5

  ，y=

  9

  20

Answer 1

分析：过点F作FM∥AC、FN∥AB，分别交AB、AC于点M、N．由平行线分线段成比例，结合AD=2DB且AE=3EC，证出AM=

1

3

AB且AN=

1

2

AC，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可算出x、y的值．

解答：解：过点F作FM∥AC、FN∥AB，分别交AB、AC于点M、N
∵FM∥AC，∴

FM

AC

=

DM

AD

且

FM

AE

=

BM

AB

∵AD=2DB，AE=3EC，
∴AD=

2

3

AB，AE=

3

4

AC．由此可得AM=

1

3

AB
同理可得AN=

1

2

AC
∵四边形AMFN是平行四边形
∴由向量加法法则，得

AF

=

1

3

AB

+

1

2

AC

∵

AF

=x

AB

+y

AC

，
∴根据平面向量基本定理，可得x=

1

3

，y=

1

2

故选：A

点评：本题在三角形中给出边的三等分点和四等分点，求向量的线性表示式．着重考查了平行线的性质、向量的加法法则和平面向量基本定理及其应用等知识，属于中档题．