Question

（2013•铁岭模拟）F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

的值为（　　）

A．3

B．4

C．6

D．9

Answer 1

分析：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），结合抛物线方程可得S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，再由三角形重心坐标公式，得到x₁+x₂+x₃=3，进而得到

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

的值．

解答：解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），则
∵抛物线y²=4x的焦点F的坐标为F（1，0）
∴S₁=

1

2

|y₁|，S₂=

1

2

|y₂|，S₃=

1

2

|y₃|
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（y₁²+y₂²+y₃²），
∵A、B、C在抛物线y²=4x上，∴

1

4

y₁²=x₁，

1

4

y₂²=x₂，

1

4

y₃²=x₃，
由此可得：S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，
∵点F（1，0）是△ABC的重心，
∴

1

3

（x₁+x₂+x₃）=1，可得x₁+x₂+x₃=3
因此，S₁²+S₂²+S₃²=3
故选：A

点评：本题给出抛物线的内接三角形以抛物线焦点为重心，求三个三角形面积的平方和．着重考查了三角形的重心公式、抛物线的基本概念和简单性质等知识，属于中档题．