Question

函数f（x）=sin2x+2cos²x﹣，函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是　　．

Answer 1

考点：

两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．

专题：

计算题；三角函数的图像与性质．

分析：

由x∈[0，]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[﹣+3，3﹣m]，依题意，存在x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．

解答：

解：∵f（x）=sin2x+2cos²x﹣=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

当x∈[0，]，2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[1，2]，

∴f（x）∈[1，2]，

对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，

∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]，

若存在x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）成立，

则3﹣m≥1，﹣+3≤2，解得实数m的取值范围是[，2]．

故答案为：[，2]．

点评：

本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“存在x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含义，属于难题．