Question

(本小题共13分)

已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（共13分）

解：（Ⅰ）当时，，

     化简得，

     又由，可推知对一切正整数均有，

     ∴数列是等比数列．            ---------------- 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为，  

         ∴．

当时，，

又，

∴              ----------8分

     （Ⅲ）当时，，此时

          

              ，

           又，

           ∴

           ，

           当时，

   ．

若，则等式为，不是整数，不符合题意．

若，则等式为，

是整数，∴是5的因数．

∴当且仅当时，是整数， ∴

综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立．