题目内容
设函数f（x）=alnx-x，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
解：（Ⅰ）当a=2时，
．
令f'（x）=0，得x=2．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
即函数f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减．
因为f（1）＜f（e），
所以当x=1时，f（x）在区间[1，e]上有最小值-1．
（Ⅱ）函数f（x）=alnx-x的定义域为（0，+∞）．
求导，得
．
①当a＜0时，由x＞0，得
．
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
即函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．
综上，当a＜0时，函数f（x）区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．
分析：（Ⅰ）当a=2时，可求出f（x），再求导数f′（x），求出f（x）在[1，e]上极值及端点处函数值，取其中最小者即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的定义域，分①a＜0，②a＞0，两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
． 令f'（x）=0，得x=2．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，e） | e |
| f'（x） | + | 0 | - | ||
| f（x） | -1 | ↗ | 极大值 | ↘ | 2-e |
因为f（1）＜f（e），
所以当x=1时，f（x）在区间[1，e]上有最小值-1．
（Ⅱ）函数f（x）=alnx-x的定义域为（0，+∞）．
求导，得
． ①当a＜0时，由x＞0，得
．所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
| x | （0，a） | a | （a，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
综上，当a＜0时，函数f（x）区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．
分析：（Ⅰ）当a=2时，可求出f（x），再求导数f′（x），求出f（x）在[1，e]上极值及端点处函数值，取其中最小者即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的定义域，分①a＜0，②a＞0，两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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，在由正数组成的数列{an}中，a1=1，
=F(an)(n∈N*).
都成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，比较Sn与12的大小；
)(n∈N*)中，是否存在三个不同点Ak、Al、Am，使Ak、Al、Am在一条直线上？若存在，写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，请说明理由.
(x≠0)，在由正数组成的数列{an}中，a1=1，
f(an)(n∈N*)．
=1都成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，比较Sn与
的大小；
)(n∈N*)中，是否存在三个不同点Ak、Al、Am，使Ak、Al、Am在一条直线上?若存在，写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，请说明理由．