Question

函数f(x)=

2+2x2

+

2x2+2x+1

的最小值为

5

．

Answer 1

分析：注意到函数f（x）是两个带根号式子的和，由此想到利用向量的性质：两个向量的长度之和大于或等于它们的和向量的长度，并且在它们共线且方向相同时，等号成立．因此设向量

OA

=(x，1)，

OB

=(-x-

1

2

，

1

2

)，可得f（x）=

2

（

|OA|

+

|OB|

）．因为

OA

+

OB

=（-

1

2

，

3

2

），所以

|OA

+

OB|

=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=

10

2

，可得当且仅当向量

OA

与

OB

共线且同向时，即x=-

1

3

时，函数f（x）的最小值为f（-

1

3

）=

5

．

解答：解：设

OA

=(x，1)，

OB

=(-x-

1

2

，

1

2

)，
则

|OA|

=

1+x2

，

|OB|

=

(-x- 1 2 )2+( 1 2 )2

=

x2+x+ 1 2

∴f(x)=

2+2x2

+

2x2+2x+1

=

2

（

|OA|

+

|OB|

）
∵

OA

+

OB

=（-

1

2

，

3

2

），且

|OA|

+

|OB|

≥|

OA

+

OB

|

|OA

+

OB|

=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=

10

2

∴f（x）=

2

（

|OA|

+

|OB|

）≥

2

•

10

2

=

5

当且仅当向量

OA

与

OB

共线且同向时，取得最小值，
此时x=2（-x-

1

2

），即x=-

1

3

所以函数f（x）的最小值为f（-

1

3

）=

5

故答案为：

5

点评：本题以求一个带根号的函数最小值问题为载体，着重考查了向量长度的公式、向量的三角形不等式和函数的最值及其几何意义等知识点，属于中档题．