Question

已知函数f(x)=

x2-2x

ex

，下列说法中正确的有

（1）（3）

．
（1）f（x）在R上有两个极值点；       
（2）f（x）在x=2+

2

处取得最大值；
（3）f（x）在x=2-

2

处取得最小值； 
（4）f（x）在x=2+

2

处取得极小值
（5）函数f（x）在R上有三个不同的零点．

Answer 1

分析：依题意，可求得f′（x）=

-x2+4x-2

ex

，利用f′（x）=0可判断（1），利用f（x）=0可判断（5），利用导数判断该函数的单调情况，从而可判断（2）（3）（4）．

解答：解：∵f′（x）=

(2x-2)ex-(x2-2x)ex

e2x

=

-x2+4x-2

ex

，
∴由f′（x）=0得：x=2-

2

或x=2+

2

．
∴（1）f（x）在R上有两个极值点，正确；
又当x=0或x=2时，f（x）=0，
∴函数f（x）在R上有两个不同的零点，故（5）错误；
由f′（x）＞0得2-

2

＜x＜2+

2

；
由f′（x）＜0得x＜2-

2

或x＞2+

2

．
∴函数f（x）=

x2-2x

ex

在（-∞，2-

2

），（2+

2

，+∞）上单调递减，在（2-

2

，2+

2

）上单调递增；
∴f（x）在x=2-

2

处取得极小值，在x=2+

2

处取得极大值，故（4）错误；
又f（2-

2

）＜0，f（2+

2

）＞0，
∴f（x）在x=2-

2

处取得最小值，f（x）在x=2+

2

取不到最大值，故（3）正确，（2）错误；
综上所述，（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查根的存在性及根的个数判断，考查分析与运算的能力，属于中档题．