Question

把3¹¹表示成k项连续正整数的和，则项数k的最大值为

486

．

Answer 1

分析：可把这k项连续正整数看成首项为a，公差为1的等差数列，其和为3¹¹，再解关于k的一元二次方程即可．

解答：解：设这k个正整数分别为a，a+1，a+2，…，a+k-1，
则这k个数的和S=

(k-1)(1=k-1)

2

=3¹¹，
化简得，k²+（2a-1）k=2×3¹¹，
利用一元二次方程求根公式，
得k=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+8× 311

2

=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+24× 310

2

，
由已知条件知k与a都为正整数，
则（2a-1）²+24×3¹⁰必为平方数，
所以（2a-1）²=3¹⁰，a=122，
代入得，k=486
故答案为：486．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．