Question

已知函数f（x）=x²－4，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（n），其中为正实数.  

 （Ⅰ）用表示x_n+1；

（Ⅱ）若a₁=4，记a_n=lg，证明数列｛｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列｛b_n｝的前n项和，证明T_n<3.

Answer 1

（1）（2）见解析（3）见解析

解析:

（Ⅰ）由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：．

即．令，得．

即．显然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．从而，即．

所以，数列成等比数列．

故．即．从而所以

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，∴   

 ∴    当时，显然．

当时，

∴．

综上，．