Question

已知函数f（x）=xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀（n＞2且n∈N^*）设x₀是函数f（x）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是

1. A.
   f′（x₀）≠0
2. B.
   f′（x₀）=0
3. C.
   f′（x₀）＞0
4. D.
   f′（x₀）＜0

Answer 1

D
分析：根据函数f（x）=xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀可知，函数最终变化趋势是单调递增的，因此，当函数与x轴的最大的交点时，函数是成递增趋势，因此得到答案．
解答：因为xⁿ是决定函数值的最重要因素，当x趋近无穷时Xⁿ也趋近无穷，导致函数值趋近无穷，
所以最终 f′（x）＞0，
若 f′（x₀）＜0，说明在x₀后有函数值小于0值
但最终函数值大于0，说明x₀后还有零点，这与x₀是函数f（x）的零点的最大值矛盾，
故选D．
点评：此题是个基础题．考查函数的零点与函数图象的变化与导数之间的关系，以及极限思想和反证法在解题中的应用．