Question

（1）极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为

5

2

；
（2）如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是

a＞-1

；
（3）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AC=

2

3

．

Answer 1

分析：（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，求出两圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心距．
（2）由绝对值的意义可得|x-3|-|x-4|的最小值为-1，若关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，
则应有a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，设∠EAB=∠CAE=θ，则∠ACB=θ，三角形ACE中，利用正弦定理求出AC的值．

解答：解：（1）ρ=2cosθ 即 ρ²=2ρcosθ，x²+y²=2x，即 （x-1）²+y²=1，
表示以M（1，0）为圆心、半径等于1的圆．
ρ=sinθ 即 ρ²=ρsinθ，x²+y²=y，即 x2+(y-

1

2

)2= 

1

4

，表示以N（0，

1

2

）为圆心、半径等于

1

2

的圆．
两个圆的圆心距为MN=

1+ 1 4

=

5

2

．
故答案为

5

2

．
（2）由于|x-3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到3对应点的距离减去数轴上的x对应点到4对应点的距离，
故|x-3|-|x-4|的最小值为-1，若关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则应有a＞-1．
故答案为a＞-1．
（3）由于AE平分∠CAB，设∠EAB=∠CAE=θ，则∠ACB=θ．
直角三角形ABC中，由于∠ABC=

π

2

，∴∠EAB+∠CAE+∠ACB=

π

2

，∴3θ=

π

2

，θ=

π

6

．
三角形ACE中，∠AEC=π-∠EAC-∠ECA=π-2θ=

2π

3

，再由正弦定理可得

AE

sin π 6

= 

AC

sin 2π 3

，
即

2

1 2

=

AC

3 2

，解得 AC=2

3

，
故答案为 2

3

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，绝对值不等式的解法，正弦定理的应用，属于中档题．