Question

已知函数f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+

10

3

，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b=0，不等式

f(x)

x

+1nx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）若a=3，b=l，则f（x）=x³-3x²+x，∴f′（x）=3x²-6x+1
∴f′（1）=3×1²-6+1=-2，f（1）=-1
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+

10

3

，∴f（x）=x³-ax²+（a+

10

3

）x，∴f′（x）=3x²-2ax+a+

10

3

∵函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，
∴

4a2-12(a+ 10 3 )＞0 2a 6 ＞1 3-2a+a+ 10 3 ＞0

，∴5＜a＜

19

3

；
（Ⅲ）若b=0，则f（x）=x²（x-a）
∴不等式

f(x)

x

+1nx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化为x+

lnx

x

+

1

x

≥a对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
设g（x）=x+

lnx

x

+

1

x

，则g′（x）=

x2-lnx

x2

设h（x）=x²-lnx，则h′(x)=

2x2-1

x

（x≥

1

2

）
令h′（x）＜0，∵x≥

1

2

，∴可得

1

2

≤x＜

2

2

；h′（x）＞0，∵x≥

1

2

，∴可得x＞

2

2

∴h（x）在[

1

2

，

2

2

)上单调递减，在（

2

2

，+∞）上单调递增
∴h（x）的最小值为h（

2

2

）=

1

2

-ln

2

2

＞0
∴g′（x）＞0，∴g（x）在x∈[

1

2

，+∞)上单调递增
∴g（x）的最小值为g（

1

2

）=

5

2

-2ln2
∴a≤

5

2

-2ln2．