Question

已知的定义域为，且恒有等式对任意的实

数成立．

（Ⅰ）试求的解析式；

（Ⅱ）讨论在上的单调性，并用单调性定义予以证明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

（Ⅱ）函数在R上为减函数，证明见解析。

【解析】本试题主要是考查了求解函数的解析式，以及函数单调性的证明。

（1）的定义域为，且恒有等式对任意的实数成立．，那么可以得到方程组，消元法得到结论。

（2）设出变量，运用定义法证明单调性。

解：

1、2f(x)+f(-x)+2^x=0    …………1

2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0    …………2

1式X2－2式得：

3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0

即：f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

2、设x1<x2 可得：

f(x1)-f(x2)

=[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3

=[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3

因：x1<x2 所以有：-x1>-x2 ,x1+1<x2+1

所以：2^(-x1)>2^(-x2)

2^(x2+1)>2^(x1+1)

即：f(x1)-f(x2)>0

所以此函数在R上为减函数！