Question

已知椭圆+y²=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.求证：直线AC经过线段EF的中点.

Answer 1

答案：
解析：

证明：证法一：依题设得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），EF的中点为N（，0）. 若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）， ∴AC中点为N（，0），即AC过EF中点N. 若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为y=k（x－1），k≠0. 记A（x1，y1）和B（x2，y2），则（2，y2）且x1，x2满足二次方程+k2（x－1）2=1， 即（1+2k2）x2－4k2x+2（k2－1）=0 ∴. 又x12=2－2y12＜2，得x1－≠0，故直线AN、CN的斜率分别为 . ∴k1－k2=2k· ∵（x1－1）－（x2－1）（2x1－3）=3（x1+x2）－2x1x2－4 =［12k2－4（k2－1）－4（1+2k2）］=0， ∴k1－k2=0，即k1=k2. 故A、C、N三点共线. 所以，直线AC经过线段EF的中点N. 证法二：如图，记直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l， 点D是垂足，因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线， BC∥x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得 =e（e是椭圆的离心率）. ∵AD∥FE∥BC， ∴， 即. ∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.