Question

函数的定义域为，若存在闭区间[m,n] D，使得函数满足：①
在[m,n]上是单调函数；②在[m,n]上的值域为[2m,2n]，则称区间[m,n]为的
“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有        (填上所有正确的序号)
①；           ②；
③；        ④ 

Answer 1

①③④．

解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②
f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则
A=0,b=2
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则f(a)="2a," f(b)=2b
构建函数g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f(x)=
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则f(a)="2a," f(b)=2b
∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f(x)=log_a(a^x- )，log_a(a^m-)=2m，log_a(aⁿ-)="2n" (a＞0，a≠1)．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，则log_a(aⁿ-)=2n，log_a(a^m-)=2m
∴2m，2n是方程log_a(a^x-)=2x的两个根，∴2m，2n是方程a^2x-a^x+=0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C．