Question

【题目】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用确定公比的取值.

试题解析：（1）方法一：因为①，

所以②，

由②-①得， ，

即 ，又，

则，即.

在中令得， ，即.

综上，对任意，都有，

故数列是以为公差的等差数列.

又，则.

方法二：因为，所以，又，

则数列是以为首项， 为公差的等差数列，

因此，即.

当时， ，又也符合上式，

故.

故对任意，都有，即数列是以为公差的等差数列.

（2）令，则数列是递减数列，所以.

考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而 .

因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.

若，当时，

有，不符合题意，舍去；

若，当时，

有 ，不符合题意，舍去；

故.